4影子價格

牧童 · 發(fā)表于 2008-1-17 17:00:11

4影子價格
什么是影子價格？如果某配方師要用A、B、C、...等原料設(shè)計某種飼料配方，這些原料的單位價格就叫做這種原料的市場價格。而某種原料的影子價格則是指：在得到最佳配方后,配方中某種原料用量增減一個單位，使飼料配方的成本增加或降低多少。例如棉粕有毒，在飼料配方中的用量一般要限制。假如棉粕到廠價格為 1.35元/kg，則不考慮貯存耗費時就可認為棉粕市場價格是1.35元/kg。如果在用線性規(guī)劃法設(shè)計好的最佳配方的基礎(chǔ)上,飼料配方中多使用一個單位的棉粕(當然就要相應(yīng)地降低其它原料的用量)可使配方成本降低0.05元/kg，則這個0.05元/kg就是棉粕的影子價格。△ Y=影子價格*△B，式中 Y為目標函數(shù)，B為約束值。影子價格表示每單位約束值對目標函數(shù)的影響度。
數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了，影子價格就是對偶規(guī)劃的最優(yōu)解。所以可借助對偶規(guī)劃來計算各種原料的影子價格，從而為及時合理地設(shè)計和修訂飼料配方提供科學(xué)依據(jù)。對偶線性規(guī)劃問題不僅在解線性規(guī)劃問題時為我們提供了一個避繁就簡的實用方法，而且在經(jīng)濟學(xué)中有重要意義。所以在飼料配方設(shè)計中，配方師應(yīng)十分重視影子價格。
為便于理解,我們通過實際例子來解釋。
例1. 設(shè)計豬飼料配方,為了簡單這里只考慮粗蛋白、鈣和磷三種養(yǎng)分?？梢钥紤]如下線性規(guī)劃問題：
C＝1.2*X1＋2.6*X2＋1.7*X3 ＋0.8*X4
式中X1、X2、X3 、X4 分別表示玉米、豆粕、磷酸氫鈣和食鹽，系數(shù)是各種飼料原料的價格。

約束條件:

85*X1＋430*X2＋ 0*X3＋0*X4≥16.5

0.2*X1＋3.2*X2＋28*X3＋350*X4≥3.5
1.2*X1＋3.1*X2＋100*X3＋0*X4≥0.33
Xj≥0，j＝1，2，3，4
現(xiàn)在我們看如下線性規(guī)劃問題：
max s ＝16.5*y1＋3.5*y2＋0.33*y3

85*y1＋0.2*y2＋1.2*y3 ≤1.2

430*y1＋3.2*y2＋3.1*y3≤2.6

0.0*y1＋280*y2＋100*y3≤1.7

0.0*y1＋350*y2＋0.0*y3≤0.8

yj≥0，j＝1，2，3。
比較上述兩個線性規(guī)劃問題,不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在如下一些規(guī)律性的關(guān)系：
第一，兩個線性規(guī)劃問題中約束條件的系數(shù)之間的關(guān)系是行和列互換。原規(guī)劃問題約束條件中每一行的系數(shù),與新規(guī)劃問題約束條件中每一列的系數(shù)相對應(yīng)；原規(guī)劃問題的約束條件中每一列的系數(shù),與新規(guī)劃問題的約束條件中每一行的系數(shù)相對應(yīng)。
這用矩陣方式解釋最清楚:兩個線性規(guī)劃問題中約束條件的系數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣。在原規(guī)劃中，約束條件的系數(shù)矩陣為：
85  430  0.0  0.0
0.2 3.2  280  350
1.2 3.1  100  0.0
而在新線性規(guī)劃問題中約束條件的系數(shù)矩陣為：
85  0.2  1.2
430 3.2  3.1
0.0 280  100
0.0 350  0.0

這兩個矩陣的行和列正好互換。

第二，原規(guī)劃問題中右手側(cè)的常數(shù)，正好是新規(guī)劃問題的目標函數(shù)中各自變量的系數(shù)；新規(guī)劃問題中約束條件的右手側(cè)常數(shù)，也正好是原規(guī)劃問題的目標函數(shù)中自變量的系數(shù)。

第三，原規(guī)劃問題中約束條件中的不等式符號如果是“≥”，那么新規(guī)劃問題中約束條件中的不等式符號就是“≤”。

第四，如果原線性規(guī)劃問題中的目標函數(shù)是求最小值，那么新線性規(guī)劃問題中的目標函數(shù)就是求最大值。
第五,運籌學(xué)已證明，若原問題和新問題都可行，則兩者均有最優(yōu)解，且兩者的最優(yōu)解相同。就是說,原問題目標函數(shù)的最小值Min C0與新問題目標函數(shù)的最大值Maxg相等，MinC0＝Maxg。
由于兩個線性規(guī)劃具有上述關(guān)系，所以稱它們互為對偶規(guī)劃。這種對偶問題，表現(xiàn)為相互交叉的表里關(guān)系，如果一方得到解，就能推導(dǎo)出另一方解。
現(xiàn)在可把這兩個相互對偶的線性規(guī)劃問題表示如表1。在上面的討論中，原規(guī)劃問題的右邊項b是飼養(yǎng)標準指標構(gòu)成的向量，對偶規(guī)劃問題最優(yōu)解中的yi值是飼養(yǎng)標準向量b中各種養(yǎng)分資源的成本。這個反面變量的解yi叫做影子價格。yi的值就相當于對第 i種養(yǎng)分，當實現(xiàn)最大利潤時的一種價格估計，是根據(jù)養(yǎng)分資源在生產(chǎn)中所做貢獻而作的估價，所以把對偶規(guī)劃中的決策變量Yi（i=1，2，３）叫做養(yǎng)分資源bi（i=1，2，3）的＂影子價格＂或＂機會成本＂。